Électromagnétisme

Introduction

Les phénomènes électriques sont connus depuis l'antiquité. Déjà, les grecs, 600 ans avant Jésus Christ, avaient remarqué qu'en frottant de l'ambre sur de la fourrure, le bâton d'ambre attire de petits morceaux de papyrus, ou que même; dans certains cas, une étincelle pouvait se produire.
Ils avaient aussi remarqué que sur l'île de Magnésia, certains rochers attiraient le fer. Le mot magnétisme vient d'ailleurs de Magnésia. Le mot électricité quant à lui vient du mot grec électron, qui signifie ambre. Ce mot fut employé pour la première fois par le savant anglais William Gilbert dans un traité nommé De Magnete.

En 1675, Robert Boyle montra que les actions électriques (répulsion, attraction) avaient même lieu dans le vide. Cette découverte était très surprenante pour l'époque, et posait une question fondamentale: quel était le milieu assurant le transport des actions électriques et magnétiques?

Vers 1750, Benjamin Franklin fut le premier à poser les conventions d'électricité positive et négative. En 1800, Volta créa les premiers générateurs chimiques (les premières batteries en fait). Le flux de charges électriques qui vont de la cathode (électrode négative) à l'anode (électrode positive) est le courant électrique. La différence de potentiel entre les électrodes est le voltage. Si on emploie une analogie hydraulique, le courant est la quantité d'eau qui va de la source à la destination, et la différence de potentiel correspond au dénivelé.

Origines de l'électromagnétisme

Les fondements mathématiques de l'électrostatique sont à mettre à l'actif de Charles Augustin de Coulomb, scientifique français du dix-huitième siècle qui écrivit en 1785 le traité Recherches théoriques et expérimentales sur la force de torsion et sur l'élasticité des fils de metal. Il conçut l'expérience permettant de mesurer la force qui s'exerce entre deux charges électriques, qui lui permit d'énoncer la loi connue sous le nom de loi de Coulomb:

$$\vec{F} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \frac{\vec{r}}{r}$$

$q_1$ et $q_2$ représentent la valeur des charges et $\vec{r}$ est le vecteur reliant $q_1$ et $q_2$, $r$ étant sa norme.

Supposons maintenant qu'il n'y ait qu'une seule charge $q$. Nous disons que cette charge crée un champ électrique

$$\vec{E}=k\frac{q}{r^2} \frac{\vec{r}}{r}$$

en chaque point, avec $r$ désignant la distance à la charge. Si nous plaçons une charge test $q_1$ dans le champ $\vec{E}$, elle subira une force:

$$\vec{F} = q_1 \vec{E}$$

Un champ électrique est avant tout une abstraction; on ne peut ni le voir ni l'observer ou le mesurer. On ne peut que mesurer son action sur les objets qui la subissent.

La loi de Coulomb est valide seulement quand les charges sont immobiles (c'est le domaine de l'électrostatique. En 1820, le physicien danois Christian Orsted montra qu'une boussole était déviée par un courant électrique passant dans un fil (ce phénomène aurait été constaté dès 1802 par Domenico Romagnosi, mais sa découverte resta lettre morte).
La même année, André Marie Ampère, qui était professeur à l'école polytechnique et avait eu vent de l'expérience d'Orsted, présenta un article à l'académie des sciences qui posait les fondements mathématiques de l'électromagnétisme.

En 1821, Michael Faraday découvrit la "rotation électromagnétique": un fil placé dans un bain de mercure se mettait à tourner autour d'un aimant placé dans le bain, si un courant le traversait: le champ magnétique induit une force sur les charges en mouvement. La loi de Coulomb fut alors modifié en:

$$ \vec{F} = q (\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}) $$

où $\vec{v}$ est la vitesse des charges $q$ se déplaçant dans les champs electrique $\vec{E}$ et magnétique $\vec{B}$ .

In 1831, Faraday découvrit l'induction magnétique: en déplaçant un aimant à l'intérieur d'un enroulement de fils, un courant apparaissait à l'intérieur des fils. Cela conduisit à la loi de l'induction magnétique:

$$ \vec{\mathrm{rot}} \vec{E} = \frac{-\mathrm{d}\vec{B}}{\mathrm{d}t} $$

qui donne la variation spatiale du champ électrique en fonction de la variation temporelle du champ magnétique.

L'unificateur de la théorie électrique et de l'électromagnétisme fut James Clerk Maxwell. In 1864, il présenta à la Royal Society un ensemble de 20 équations à 20 variables qui décrivait complètement les relations entre champs magnétiques, champs électriques, charges électriques et courants. Cet ensemble d'équation connu sous le nom d'équations de Maxwell s'écrit simplement en notation vectorielle (dans le vide):

\begin{align*} \mathrm{div} \vec{B} &=0\\ \mathrm{div} \vec{E} &=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \vec{\mathrm{rot}} \vec{E} &= \frac{-\mathrm{d}\vec{B}}{\mathrm{d}t}\\ c^2 \vec{\mathrm{rot}} \vec{B} &= \frac{\mathrm{d}\vec{E}}{\mathrm{d}t} + \frac{\vec{\jmath}}{\epsilon_0} \end{align*}

$\rho$ est la densité de charge, $\vec{\jmath}$ est le flux de charges par unité de surface. Cet ensemble d'équations prédisent également que le champ magnétique et le champ électrique se comportent comme des ondes dont la vitesse de propagation est égale à $c$.
Maxwell montra expérimentalement que la valeur de $c$ était presque exactement la vitesse de la lumière. Il écrivit: This velocity is so nearly that of light, that it seems we have strong reason to conclude that light itself (including radiant heat, and other radiations if any) is an electromagnetic disturbance in the form of waves propagated through the electromagnetic field according to electromagnetic laws.
Cette vitesse est si proche de celle de la lumière qu'il semble que nous ayons de fortes raisons de conclure que la lumière elle-même (en incluant la chaleur radiante et les autres radiations) est une perturbation électromagnétique sous la forme d'ondes se propageant via le champ électromagnétique, en accord avec les lois de l'électromagnétisme.

Les équations de Maxwell se généralisent très simplement dans les milieux matériels en introduisant la permittivité du milieu $\epsilon_r$ qui remplace la permittivité du vide dans les équations.
Notons enfin un résultat important dont nous nous servirons lorsque nous calculerons les coefficients de Fresnel dans le chapitre sur la polarisation: la composante tangentielle du champ électrique et la composante normale du champ magnétique sont continues lors d'un changement de milieu (ce résultat peut se démontrer directement de façon compliquée à partir des équations de Maxwell elles-mêmes).

La lumière: onde ou particules?

Depuis Huyghens et Newton, une controverse agita les physiciens: la lumière était elle une onde se propageant à travers un milieu inconnu, dénommé "éther" (interprétation de Huyghens), ou s'agissait-il d'un flux de particules (interprétation de Newton)?

Les expériences successives permirent de renforcer alternativement l'une et l'autre thèse. Au XIX^ème siècle, Faraday remarqua que le plan de polarisation d'un rayon de lumière polarisé linéairement pouvait être pivoté par application d'un champ magnétique appliqué selon la direction de propagation.

Après que les lois de Maxwell se soient imposés, un consensus sembla se dégager: la lumière semblait être une onde électromagnétique se propageant à l'intérieur d'un "éther". Le problème était de savoir quel était exactement la nature de cet éther, puisqu'il devait à la fois avoir une grande rigidité, pour permettre une vitesse aussi élevée que celle de la lumière, et en même temps ne présenter aucune résistance, sans quoi il aurait ralenti le mouvement de la terre.

Michelson et Morley s'attaquèrent au problème à travers l'expérience qui porte leur nom (voir l'article de Michael Fowler's pour plus de précision): ils tentèrent de mesurer la vitesse relative de la terre par rapport à l'éther en question. Réaliser l'expérience fut difficile, essentiellement pour des raisons techniques, mais le résultat fut plus que surprenant: la vitesse de la lumière était indépendante de la vitesse de l'observateur, et il n'y avait donc pas de "vent d'éther", et la théorie de l'éther dans son ensemble vint à s'effondrer.

Il restait alors deux problèmes à résoudre: pourquoi la vitesse de la lumière était-elle constante, et comment une onde pouvait-elle être transmise sans médium? Ce sont les deux questions auxquelles allaient répondre la théorie de la relativité restreinte et la mécanique quantique. Cela est une autre histoire qu'il serait trop long de raconter ici. Disons simplement que la théorie quantique postule que tout phénomène ou objet physique à un aspect ondulatoire et un aspect corpusculaire (on parle parfois de quanton). Pour les objets de grande taille, l'aspect ondulatoire est négligeable devant l'aspect corpusculaire. Il n'en est pas ainsi pour la lumière, qui est une onde électromagnétique dont le vecteur de propagation est une particule, le photon.

Résolution des équations de Maxwell dans le cas de la lumière

La lumière est une radiation électromagnétique dont la longueur d'onde $\lambda$ est petite (de l'ordre de quelques centaines de nanomètres) devant la majeure partie des phénomènes physiques. Cela permet de faire un certain nombre de simplifications lors de la résolution des équations de Maxwell, en considérant que la longueur d'onde tend vers 0.

On cherche en particulier des solutions de la forme: \begin{align*} E(r,t) &= E_0(r) e^{j(\omega t - k_0 L(r))}\\ B(r,t) &= B_0(r) e^{j(\omega t - k_0 L(r))} \end{align*} $\omega$ est la pulsation de l'onde lumineuse, $k_0=\frac{2 \pi}{\lambda_0}$ est le module du vecteur d'onde dans le vide et $k_0 L(r)$ est la phase.

Le calcul, qui n'est pas extrêmement compliqué (voir ici un extrait du site de Claude Saint Blanquet qui contient la démonstration) et fait appel à quelques manipulations de rotationnels, gradients et lagrangiens, permet de montrer que L doit être de la forme: $$ \vec{\mathrm{grad}}\, L(r) = n \vec{u}$$ avec $$n=\sqrt{\epsilon_r} = \frac{c}{v}$$ $n$ est l'indice de réfraction ($c$ est la vitesse de la lumière dans le vide et $v$ la vitesse de la lumière dans le milieu considéré) et $\vec{u}$ est un vecteur unitaire donnant la direction de propagation de l'onde au point r.

On remarque immédiatement que la surface d'onde (surface des points ayant la même phase) est déterminée par $k_0 L(r) = C$ ($C$ étant une constante). La direction de propagation est la même que celle de $ \vec{\mathrm{grad}}\, L(r) = n \vec{u}$, et localement l'onde a une structure d'onde plane: la propagation est orthogonale à la surface d'onde.

On déduit également de cette relation tout un ensemble de relations complémentaires. En particulier, en la différentiant, on obtient l'équation suivante: $$ \frac{\mathrm{d}(n \vec{u})}{\mathrm{d}s} = \vec{\mathrm{grad}}(n) $$ avec $s$ représentant l'abscisse curviligne. Dans le cas où $n$ est constant (milieux homogène), son gradient est nul. Donc le terme $(n \vec{u})$ est constant, et $\vec{u}$ est donc constant : la lumière se déplace en ligne droite dans un milieu homogène (ouf) .

Le fait que la propagation de l'onde soit orthogonale à la surface d'onde a une conséquence très importante. En effet, si l'on considère la distance $\mathrm{d}s$ entre deux éléments correspondants de surface d'onde, cette quantité sera toujours minimale (en toute rigueur extrémale) car le déplacement est orthogonal à la surface d'onde. C'est le fondement de l'optique géométrique: le chemin optique entre deux points A et B est toujours extrémal . De cette loi, nous dériverons les lois de Fermat et de Snell-Descartes, et par là-même toute l'optique géométrique dans le chapitre du même nom.

A retenir

La lumière est une onde électromagnétique transportée par une particule élémentaire, le photon. Elle est caractérisée par son amplitude (qui définit son intensité), sa longueur d'onde (qui définit sa couleur), et la forme du champ électrique et du champ magnétique véhiculés (qui définissent la polarisation).

En général, une onde lumineuse peut être assimilée à une onde plane en ce qui concerne sa propagation. Les vecteurs $\vec{k}$ (définissant la direction de propagation), $\vec{E}$ (vecteur du champ électrique) et $\vec{B}$ (vecteur du champ magnétique) forment en tout point un trièdre orthogonal. L'évolution de l'onde est entièrement décrite par les équations de Maxwell, et la composante tangentielle du champ électrique et la composante normale du champ magnétique sont continues lors d'un changement de milieu.
La façon dont varie le champ électrique et le champ magnétique s'appelle la polarisation, nous en reparlerons dans un chapitre spécifique.

Onde monochromatique, onde cohérente, lasers et "néons"

Une source lumineuse est dite monochromatique lorsqu'elle ne présente qu'une seule longueur d'onde $\lambda$ et cohérente lorsqu'elle ne présente qu'une seule phase. Notons que ce n'est pas le cas de la majorité des sources lumineuses qui émettent en général des paquets d'onde ayant des longueurs d'onde et des phases différentes.

Lasers

Les lasers sont connus pour être capable d'émettre des ondes monochromatiques cohérentes, qui vérifient les propriétés ci-dessus (longueur d'onde calée sur une valeur $\lambda$ fixe, et même phase).
Le fonctionnement des lasers (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) est relativement facile à comprendre, même si l'implantation pratique est plus complexe, et leur nom décrit leur processus de fonctionnement.

On sait en mécanique quantique qu'en excitant un atome, on le fait passer de son état d'énergie fondamental $E_1$ dans un état d'énergie supérieur $E_2$. L'atome retombera naturellement dans son état d'énergie fondamental en émettant un photon dont l'énergie $\hbar \nu$ est exactement égale à l'écart $E_2-E_1$. $$ E_2 - E_1 = \hbar \nu $$ Ce type d'émission est appelé émission spontanée. Le temps nécessaire à cette émission est de l'ordre de quelques nanosecondes (de 1 à 100). Le processus consistant à faire passer un atome d'un état stable à un état excité s'appelle le pompage. Il peut être réalisé de plusieurs façons (électrique ou optique).

Une autre propriété importante est la notion d'émission stimulée: lorsqu'un atome est déjà dans un état excité et qu'il n'a pas encore émis un photon de façon spontané, on va le soumettre à un rayonnement incident (un photon); il libérera alors un photon qui aura les mêmes propriétés que le photon incident (même phase, même longueur d'onde), à condition bien entendu que cela soit possible (dit pratiquement, il faut qu'il soit excité par un photon lui-même issu d'un atome du même type et placé dans le même niveau d'énergie). On passe ainsi d'un photon à deux photons possédant les mêmes caractéristiques.
Par ce processus, on peu de proche en proche provoquer une émission stimulée dans plusieurs atomes excités et générer une onde monochromatique cohérente.

Techniquement, le procédé est relativement complexe. Le procédé de pompage doit se faire à partir de plusieurs états intermédiaires entre $E_1$ et $E_2$, l'état $E_2$ doit être suffisamment stable pour que le photon spontané ne soit pas libéré avant que l'atome ait été excité par un autre photon, la cavité où l'on génère les photons doit avoir des caractéristiques géométriques particulières pour éviter les interférences destructives, etc.

Tubes fluorescents et tubes "Néons"

Les éclairages dits "néons" sont en fait généralement des éclairages fluorescents, ou tubes luminescents. Il s'agit de tubes contenant des vapeurs de mercure ou d'argon. L'excitation des atomes par un champ électrique (comme dans le cas du laser) provoque l'émission de photons dans le spectre ultra-violet. Ces photons sont absorbés par les parois du tube qui sont recouverts d'une matière fluorescente qui ré-émet l'énergie absorbée sous forme de rayonnement visible donnant une teinte blanchâtre.

Les vraies tubes néon existent cependant. Il s'agit de tubes contenant du gaz néon. Celui-ci, excité, libère un ensemble d'ondes correspondant à ses différents états d'excitation (on appelle cette émission le spectre du néon). Dans le cas du néon, ces teintes tirent sur le jaune/orange/rouge.

Il faut noter que dans les deux cas présentés dans ce paragraphe, les différents longueurs d'onde sont bien monochromatiques, mais les phases ne sont pas cohérentes, contrairement aux lasers.

Nous reviendrons plus en détail sur les couleurs et la colorimétrie dans le chapitre consacrée à la colorimétrie.

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Dernière modification: 19:22, 07/03/2024